,
a
> 0 si le soleil se trouve du côté de l’hémisphère
nord.
Souhaiteriez-vous savoir comment varie la durée du jour durant l’année ? En effet, cette durée semble être assez constante aux alentour des équinoxes, et varier fortement aux alentour des solstices. Est-ce exact ? Et à toute latitude ? Il est vrai que le calendrier du facteur nous donne les heures de lever et de coucher du soleil. Mais si nous trouvons une formule, nous pourrons tracer des courbes, beaucoup plus parlantes.
• La durée en fonction de l’incidence.
Nous allons, dans un
premier temps, déterminer la durée du jour, pour une latitude
l
donnée, en fonction de l’angle a
que font les rayons du soleil avec le plan (P) de l’équateur : a,
a
> 0 si le soleil se trouve du côté de l’hémisphère
nord.
Pour simplifier, nous supposerons :
1) que la terre est une sphère parfaite, de rayon r et de centre T.
2) que les rayons du soleil sont parallèles (autrement dit que le soleil est à l’infini...)
3) que durant toute la journée, l’angle a ne varie pas (pour moi, la journée comprend la nuit, tandis que le jour ne comprend que le jour : vous me suivez ?).
A chaque instant, les
rayons du soleil éclairent une moitié de la terre, limitée
par un grand cercle (Cj) dont le plan est perpendiculaire aux rayons
du soleil. Ce grand cercle coupe le cercle (Cl)
parallèle à l’équateur de latitude l
(
) en deux
points I et J. Notre problème est de déterminer l’angle au
centre b
(
) de l’arc
(IJ) de ce cercle qui se trouve dans le jour. Nous appellerons O le centre
de ce cercle, K le milieu de [IJ], M et N les points d’intersection de
la droite (OK) avec la terre, M dans le jour, N dans la nuit. Pour le raisonnement,
nous avons pris l
et a
positifs : nous sommes dans l’hémisphère nord, en été.
 |
Nous allons calculer
OK de deux manières différentes :
D’une part : et d’autre part : On en déduit
l’étrange formule : d’où : |
La durée du jour est donc égale, en heures, à :
.
L’algèbre est
suffisamment bien faite pour que cette formule soit encore valable quels
que soient les signes de a
et l.
• L’incidence
en fonction du temps.
Il nous reste maintenant à déterminer l’incidence a des rayons du soleil en fonction du rang du jour dans l’année.
Nous ferons de nouveaux des hypothèses simplificatrices :
4) L’année comporte 365 journées de 24 h.
5) Le mouvement de la terre autour du soleil est circulaire, de centre le centre S du soleil, et de rayon R.
6) Ce mouvement s’effectue de la façon suivante : chaque journée, la terre effectue une rotation sur elle-même sans bouger par rapport au soleil, puis effectue instantanément un 365ième de tour autour du soleil (de façon à ce que l’incidence a soit constante au cours de la journée).
7) L’angle d que fait l’axe des pôles avec la normale au plan de l’écliptique (plan terre soleil) est constant et vaut 23,45°, et le plan (axe des pôles - normale à l’écliptique) a une direction fixe.
8) Le solstice d’été a lieu le 21 juin à minuit.
L’espace est rapporté
au repère orthonormé direct (S,
)
où 
dirige la droite (ST) au moment du solstice d’été et 
dirige la droite (ST) au moment de l’équinoxe d’automne et 
déterminé par le fait que le pôle nord a une ordonnée
> 0.
Désignons par 
le vecteur normé dirigé du pôle sud vers le pôle
nord, par 
le vecteur 
,
et par q
l’angle 
.
L’existence des saisons
provient de ce que le vecteur
est égal à  ,
et non
L’angle a
que nous recherchons est le complémentaire de l’angle
|
 |
Il nous reste à
exprimer q
en fonction du rang r du jour dans l’année. Le 21 juin étant
le 172ème jour de l’année, 
.
La formule souhaitée est donc :
Nous avons donc notre fonction durée = f(rang, latitude):
Un peu compliqué,
mais Maple ne fait qu’une bouchée de ce genre de formule!
• Les courbes
J’ai fait tracer sept courbes représentant la durée du jour en heures en fonction du rang du jour dans l'année, pour les latitudes 0°, 20°, 40°, 60°, au cercle polaire (latitude 90° - d), à mi-chemin entre le cercle polaire et le pole, et enfin au pôle.
Pour l’équateur, pas de surprise, durée constante égale à douze heures. Ensuite, la courbe a une allure sinusoïdale, mais ce qui est remarquable, c’est qu’au cercle polaire, la fonction semble affine par morceaux.
J’ai essayé de démontrer ce fait, mais n’y suis pas arrivé. Et pour cause, car c’est faux ! Mais on peut montrer qu’elle en est assez proche, car d est petit.
En effet, quand 
,
;
si on remplace froidement
dans cette formule tan(x) et sin(x) par x pour x petit, on obtient 
,
ce qui est bien, cette fois, affine par morceaux !
Au delà du cercle polaire, on voit bien sur la courbe les deux périodes de nuit continue et de jour continu, séparées par une période où la durée du jour varie extrêmement rapidement, période réduite à zéro lorsqu’on est au pôle.
Voici enfin les courbes de lever et coucher du soleil, à la latitude de Paris (48,5°). J’ai conservé l’heure solaire : il faudrait en fait décaler ces deux courbes d’une heure vers le haut pour l’hiver, et de deux heures pour l’été.
J’ai été heureux de constater que ces courbes concordent assez bien avec les données du calendrier de la Poste. En effet, d’après celui-ci, le jour le plus court va de 7h. 44 à 15 h. 55 le 22 décembre, et les jours les plus long de 3h. 49 à 19 h. 56 du 19 au 23 juin. Mais le fait que ces horaires ne soient pas exactement symétriques par rapport à midi, montrent que le bureau des longitudes qui les publient tient compte de nombreux correctifs aux hypothèses simplificatrices que nous avons faites.
Voir aussi le site de Xavier Hubaut.
,
.
,
;
,
auquel cas tous les jours auraient la même durée...
,
dont on obtient facilement le cosinus à l’aide du produit scalaire
:
;
on en déduit :
